Bất đẳng thức cosi

Bất đẳng thức Côsi là một trong những bất đẳng thức cổ điển. Tên chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, nhiều người gọi là bất đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của Arithmetic mean và GM là viết tắt của Geometric mean). Do nhà toán học người Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), người đã đưa ra một cách chừng mình đặc sắc nên nhiều người hay gọi là bất đẳng thức Cauchy.

Nó ứng dụng rất nhiều trong các bài Toán về bất đẳng thức và cực trị. Trong phạm vi chương trình Toán THCS, chúng ta quan tâm đến các trường hợp riêng của bất đẳng thức Cauchy.

1. Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Cosi

a. Dạng tổng quát bất đẳng thức cosi

Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực không âm ta có:

d) Chú ý khi sử dụng bất đẳng thức AM – GM

• Khi áp dụng bất đẳng thức cô si thì các số phải là những số không âm

• Bất đẳng thức côsi thường được áp dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tích

• Điều kiện xảy ra dấu ‘=’ là các số bằng nhau

• Bất đẳng thức côsi còn có hình thức khác thường hay sử dụng

Đối với hai số:

• x

• 2

• +

• y

• 2

• ≥2xy

• .

• x

• 2

• +

• y

• 2

• ≥

• (x+y)

• 2

• 2

• 
  

• xy≤

• (

• x+y

• 2

• )

• 2

• 
  

Đối với ba số: 

abc≤

a

3

+

b

3

+

c

3

3

,abc≤

(

a+b+c

3

)

3